Un syllogisme est un raisonnement qui fonde une conclusion sur deux propositions posées comme vraies:

La majeure : Tous les hommes sont mortels 
La mineure : Or Socrate est un homme
La conclusion : Donc Socrate est mortel.

Le syllogisme peut parfois être un sophisme autrement dit il semble logique, mais conduit à des absurdités. La plupart du temps ils sont justes, logiques et donc corrects.

Voici quelques exemples de syllogismes non valides :

    Tout ce qui est rare est cher. Un cheval bon marché est rare. Donc un cheval bon marché est cher

Ou encore : 

    Tous les chats sont mortels. Or Socrate est mortel. Donc Socrate est un chat.

C'est un faux syllogisme dans le cas où on ne parle pas d'un chat nommé Socrate mais du philosophe. En effet, ce syllogisme est faux car il oublie qu'il n'y a pas que les chats qui soient mortels, les hommes le sont aussi. Les syllogismes valides, ceux qui fonctionnent, obéissent à des règles très précises d'inclusion etc.

ou encore :

Plus il y a de gruyère, plus il y a de trous. Plus il y a de trous, moins il y a de gruyère. Donc plus il y a de gruyère, moins il y a de gruyère. (on aboutit ici à un paradoxe)